Закон сложения скоростей. Правило сложения скоростей Правило сложения перемещений и скоростей

Главная

Канализация

1.4. Относительность движения

1.4.1. Закон сложения перемещений и закон сложения скоростей

Механическое движение одного и того же тела выглядит по-разному для разных систем отсчета.

Для определенности будем использовать две системы отсчета (рис. 1.33):

K - неподвижную систему отсчета;
K ′ - подвижную систему отсчета.

Рис. 1.33

Система K ′ движется относительно системы отсчета K в положительном направлении оси Ox со скоростью u → .

Пусть в системе отсчета K материальная точка (тело) движется со скоростью v → и за интервал времени ∆t совершает перемещение Δ r → . Относительно системы отсчета K ′ эта материальная точка имеет скорость v → ′ и за указанный интервал времени ∆t совершает перемещение Δ r ′ → .

Закон сложения перемещений

Перемещения материальной точки в неподвижной (K ) и движущейся (K ′) системах отсчета (Δ r → и Δ r ′ → соответственно) различаются между собой и связаны законом сложения перемещений :

Δ r → = Δ r ′ → + u → Δ t ,

где Δ r → - перемещение материальной точки (тела) за интервал времени ∆t в неподвижной системе отсчета K ; Δ r ′ → - перемещение материальной точки (тела) за интервал времени ∆t в движущейся системе отсчета K ′; u → - скорость системы отсчета K ′, движущейся относительно системы отсчета K .

Закону сложения перемещений соответствует «треугольник перемещений » (рис. 1.34).

Закон сложения перемещений при решении задач иногда целесообразно записывать в координатной форме :

Δ x = Δ x ′ + u x Δ t , Δ y = Δ y ′ + u y Δ t , }

где ∆x и ∆y - изменение координат x и y материальной точки (тела) за интервал времени ∆t в системе отсчета K ; ∆x ′ и ∆y ′ - изменение соответствующих координат материальной точки (тела) за интервал времени ∆t в системе отсчета K ′; u x и u y - проекции скорости u → системы отсчета K ′, движущейся относительно системы отсчета K , на координатные оси.

Закон сложения скоростей

Скорости материальной точки в неподвижной (K ) и движущейся (K ′) системах отсчета (v → и v → ′ соответственно) также различаются между собой и связаны законом сложения скоростей :

v → = v → ′ + u → ,

где u → - скорость системы отсчета K ′, движущейся относительно системы отсчета K .

Закону сложения скоростей соответствует «треугольник скоростей » (рис. 1.35).

Рис. 1.35

Закон сложения скоростей при решении задач иногда целесообразно записывать в проекциях на координатные оси :

v x = v ′ x + u x , v y = v ′ y + u y , }

Относительная скорость движения двух тел

Для определения относительной скорости движения двух тел удобно пользоваться следующим алгоритмом:

4) векторы v → , v → ′ и u → изобразить в системе координат xOy ;

5) записать закон сложения скоростей в виде

v → = v → ′ + u → или v x = v ′ x + u x , v y = v ′ y + u y ; }

6) выразить v → ′:

v → ′ = v → − u →

или v ′ x и v ′ y:

v ′ x = v x − u x , v ′ y = v y − u y ; }

7) найти модуль вектора относительной скорости v → ′ по формуле

v ′ = v ′ x 2 + v ′ y 2 ,

где v x и v y - проекции вектора скорости v → материальной точки (тела) в системе отсчета K на координатные оси; v ′ x и v ′ y - проекции вектора скорости v → ′ материальной точки (тела) в системе отсчета K ′ на координатные оси; u x и u y - проекции скорости u → системы отсчета K ′, движущейся относительно системы отсчета K , на координатные оси.

Для определения относительной скорости движения двух тел, движущихся вдоль одной координатной оси , удобно пользоваться следующим алгоритмом:

1) выяснить, какое из тел считается системой отсчета; скорость этого тела обозначить как u → ;

2) скорость второго тела обозначить как v → ;

3) относительную скорость тел обозначить как v → ′ ;

4) векторы v → , v → ′ и u → изобразить на координатной оси Ox ;

5) записать закон сложения скоростей в виде:

v x = v ′ x + u x ;

6) выразить v ′ x:

v ′ x = v x − u x ;

7) найти модуль вектора относительной скорости v ′ → по формуле

v ′ = | v ′ x | ,

Пример 26. Первое тело движется со скоростью 6,0 м/с в положительном направлении оси Ox , а второе - со скоростью 8,0 м/с в ее отрицательном направлении. Определить модуль скорости первого тела в системе отсчета, связанной со вторым телом.

Решение. Подвижной системой отсчета является второе тело; проекция скорости u → подвижной системы отсчета на ось Ox равна:

u x = −8,0 м/с,

так как движение второго тела происходит в отрицательном направлении указанной оси.

Первое тело относительно неподвижной системы отсчета имеет скорость v → ; ее проекция на ось Ox равна:

v x = 6,0 м/с,

так как движение первого тела происходит в положительном направлении указанной оси.

Закон сложения скоростей для решения данной задачи целесообразно записать в проекции на координатную ось, т.е. в следующем виде:

v x = v ′ x + u x ,

где v ′ x - проекция скорости первого тела относительно подвижной системы отсчета (второго тела).

Величина v ′ x является искомой; ее значение определяется формулой

v ′ x = v x − u x .

Произведем вычисление:

v ′ x = 6,0 − (− 8,0) = 14 м/с.

Пример 29. Спортсмены бегут друг за другом цепочкой длиной 46 м с одинаковой скоростью. Навстречу им бежит тренер со скоростью, втрое меньшей скорости спортсменов. Каждый спортсмен, поравнявшись с тренером, поворачивает и бежит назад с прежней скоростью. Какова станет длина цепочки, когда все спортсмены будут бежать в обратном направлении?

Решение. Пусть движение спортсменов и тренера происходит вдоль оси Ox , начало которой совпадает с положением последнего спортсмена. Тогда уравнения движения относительно Земли имеют следующий вид:

последнего спортсмена -
x 1 (t ) = vt ;
тренера -
x 2 (t) = L − 1 3 v t ;
первого спортсмена -
x 3 (t ) = L − vt ,
где v - модуль скорости каждого спортсмена; 1 3 v - модуль скорости тренера; L - первоначальная длина цепочки; t - время.

Свяжем подвижную систему отсчета с тренером.

Уравнение движения последнего спортсмена относительно подвижной системы отсчета (тренера) обозначим x ′(t ) и найдем из закона сложения перемещений, записанного в координатной форме:

x (t ) = x ′(t ) + X (t ), т.е. x ′(t ) = x (t ) − X (t ),

X (t) = x 2 (t) = L − 1 3 v t -

уравнение движения тренера (подвижной системы отсчета) относительно Земли;

x (t ) = x 1 (t ) = vt ;

уравнение движения последнего спортсмена относительно Земли.

Подстановка выражений x (t ), X (t ) в записанное уравнение дает:

x ′ (t) = x 1 (t) − x 2 (t) = v t − (L − 1 3 v t) = 4 3 v t − L .

Данное уравнение представляет собой уравнение движения последнего спортсмена относительно тренера. В момент встречи последнего спортсмена и тренера (t = t 0) их относительная координата x ′(t 0) обращается в ноль:

4 3 v t 0 − L = 0 .

Уравнение позволяет найти указанный момент времени:

В этот момент времени все спортсмены начинают бежать в противоположном направлении. Длина цепочки спортсменов определяется разностью координат первого x 3 (t 0) и последнего x 1 (t 0) спортсмена в указанный момент времени:

l = | x 3 (t 0) − x 1 (t 0) | ,

или в явном виде:

l = | (L − v t 0) − v t 0 | = | L − 2 v t 0 | = | L − 2 v 3 L 4 v | = 0,5 L = 0,5 ⋅ 46 = 23 м.

Давайте в нескольких статьях рассмотрим подробно и внимательно закон сложения скоростей и решения задач, с использованием этого закона.

Для начала, вспомним, что часто мы наблюдаем довольно сложные типы движения, когда тело движется относительно системы отсчёта, которая в тоже время движется относительно Земли. И первая трудность здесь заключается в выборе подвижной и неподвижной систем отсчёта. Сегодня мы это и разберём. Если брать за неподвижную систему отсчета дерево, растущее на Земле (а чаще всего именно землю берут за неподвижную систему отсчёта), то довольно легко ввести другие системы отсчёта.

Попытаемся это сделать на следующих примерах:

1. Пассажир движется в движущемся автобусе (или по движущемуся эскалатору).

Здесь неподвижная система отсчета – Дерево , а подвижная система отсчета – автобус (эскалатор). И тогда

скорость пассажира относительно автобуса (эскалатора) – скорость пассажира (Т ела) О тносительно П одвижной системы отсчета (автобуса; эскалатора) (ϑ ТоП),
скорость пассажира относительно Земли (дерева) – скорость пассажира (Т ела) О З емли) (ϑ ТоЗ),
скорость автобуса (эскалатора) – скорость П одвижной системы отсчета (автобуса; эскалатора) О тносительно неподвижной (З емли) (ϑ ПоЗ).

2. Легковая машина и грузовик движутся по шоссе (даже не важно, в каком направлении).

В качестве неподвижной системы отсчета оставляем дерево, растущее на Земле, за подвижную систему отсчета возьмём грузовую машину. Тогда,

скорость легковой машины относительно грузовой – скорость легковой машины (Т ела) О тносительно П одвижной системы отсчета (грузовой машины) (ϑ ТоП),
скорость легковой машины относительно Земли (Дерева) – скорость легковой машины (Т ела) О тносительно неподвижной системы отсчета (З емли) (ϑ ТоЗ). Эту скорость показывает спидометр – прибор, для измерения скорости, который есть в каждой машине.
с корость грузовой машины – скорость П одвижной системы отсчета (грузовой машины) О тносительно неподвижной (З емли) (ϑ ПоЗ). Эту скорость показывает спидометр грузового автомобиля.

3. Лодка движется по реке.

Опять, в качестве неподвижной системы отсчета дерево , растущее на Земле. За неподвижную систему отсчета возьмём течение реки (чтобы это течение визуализировать, представьте опавший лист на поверхности воды). Тогда,

скорость лодки относительно листка – скорость лодки (Т ела) О тносительно П одвижной системы отсчета (течения реки) (ϑ ТоП), т.е скорость лодки в стоячей воде ,
скорость лодки относительно Земли (дерева) – скорость лодки (Т ела) О тносительно неподвижной системы отсчета (З емли) (ϑ ТоЗ),
скорость течения (листка) – скорость П одвижной системы отсчета (течения реки) О тносительно неподвижной (З емли) (ϑ ПоЗ).

4. Падает капля дождя.

Опять, в качестве неподвижной системы отсчета дерево, растущее на Земле, подвижной системы отсчета – ветер (чтобы это визуализировать, представьте летящий оторвавшийся листок). Тогда,

скорость капли относительно ветра – скорость капли (Т ела) О тносительно П одвижной системы отсчета (ветра) (ϑ ТоП),
скорость капли относительно Земли (дерева) – скорость капли (Т ела) О тносительно неподвижной системы отсчета (З емли) (ϑ ТоЗ),
скорость ветра – скорость П одвижной системы отсчета (ветра) О тносительно неподвижной (З емли) (ϑ ПоЗ).

Разобравшись, с выбором систем отсчёта, введём и выучим закон сложения скоростей:

Скорость тела относительно неподвижной системы отсчета (ϑ ТоЗ ) равна векторной сумме скорости тела относительно подвижной системы отсчета (ϑ ТоП ) и скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной (ϑ ПоЗ ).

При решении задач исходное выражение всегда будет в таком векторном виде. А вот как решать, приведённые выше задачи, это мы обсудим в следующих статьях.

Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи на закон сложения скоростей?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Классическая механика использует понятие абсолютной скорости точки. Она определяется как сумма векторов относительной и переносной скоростей этой точки. Подобное равенство содержит утверждение теоремы о сложении скоростей. Принято представлять, что скорость движения определенного тела в неподвижной системе отсчета является равной векторной сумме скорости такого же физического тела относительно подвижной системе отсчета. В этих координатах находится непосредственно тело.

Рисунок 1. Классический закон сложения скоростей . Автор24 - интернет-биржа студенческих работ

Примеры закона сложения скоростей в классической механике

Рисунок 2. Пример сложения скоростей. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ

Существует несколько основных примеров сложения скоростей, согласно установленным правилам, взятым за основу в механической физике. В качестве простейших объектов при рассмотрении физических законов может быть взят человек и любое движущееся тело в пространстве, с которым происходит прямое или косвенное взаимодействие.

Пример 1

Например, человек, который движется по коридору пассажирского поезда со скоростью пять километров в час, при этом состав двигается со скоростью 100 километров в час, то он относительно окружающего пространства двигается со скоростью 105 километров в час. При этом направление движения человека и транспортного средства должны совпадать. Такой же принцип действует и при движении в обратном направлении. В этом случае человек будет перемещаться относительно земной поверхности со скоростью 95 километров в час.

Если значения скорости двух объектов относительно друг друга будут совпадать, то они станут неподвижными с точки зрения движущихся объектов. При вращении скорость изучаемого объекта равна сумме скоростей движения объекта относительно движущейся поверхности другого объекта.

Принцип относительности Галилея

Ученые смогли сформулировать основные формулы для ускорений объектов. Из нее следует, что движущаяся система отсчета удаляется относительно другой без видимого ускорения. Это закономерно в тех случаях, когда ускорение тел происходит одинаково в разных системах отсчета.

Подобные рассуждения берут начало еще во времена Галилея, когда сформировался принцип относительности. Известно, что по второму закону Ньютона ускорение тел имеет принципиальное значение. От этого процесса зависит относительное положение двух тел в пространстве, скорость физических тел. Тогда все уравнения можно записать одинаковым образом в любой инерциальной системе отсчета. Это говорит о том, что классические законы механики не будут иметь зависимость от положения в инерциальной системе отсчета, как принято действовать при осуществлении исследования.

Наблюдаемое явление также не имеет зависимость от конкретного выбора системы отсчета. Подобные рамки в настоящее время рассматриваются как принцип относительности Галилея. Он вступает в некоторые противоречия с иными догмами физиков-теоретиков. В частности, теория относительности Альберта Эйнштейна предполагает иные условия действия.

Принцип относительности Галилея базируется на нескольких основных понятиях:

в двух замкнутых пространствах, которые движутся прямолинейно и равномерно относительно друг друга, результат внешнего воздействия всегда будет иметь одинаковое значение;
подобный результат будет действителен только для любого механического действия.

В историческом контексте изучения основ классической механики , подобная трактовка физических явлений сформировалась во многом, как результат интуитивного мышления Галилея, что подтвердилось в научных трудах Ньютона, когда тот представил свою концепцию классической механики . Однако подобные требования по Галилею могут накладывать на структуру механики некоторые ограничения. Это влияет на ее возможные формулировки, оформление и развитие.

Закон движения центра масс и закон сохранения импульса

Рисунок 3. Закон сохранения импульса. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ

Одной из общих теорем в динамике стала теорема центра инерции. Ее также называют теоремой о движении центра масс системы. Подобный закон можно вывести из общих законов Ньютона. Согласно ему, ускорение центра масс в динамической системе не является прямым следствием внутренних сил, которые действуют на тела всей системы. Оно способно связать процесс ускорения с внешними силами, которые действуют на такую систему.

Рисунок 4. Закон движения центра масс. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ

В качестве объектов, о которых идет речь в теореме, выступают:

импульс материальной точки;
система тел.

Эти объекты можно описать как физическую векторную величину. Она является необходимой мерой воздействия силы, при этом полностью зависит от времени действия силы.

При рассмотрении закона сохранения количества движения утверждается, что векторная сумма импульсов всех тел система полностью представляется как постоянная величина. При этом векторная сумма внешних сил, которые действуют на всю систему, должна быть равна нулю.

При определении скорости в классической механике также используют динамику вращательного движения твердого тела и момент импульса. Момент импульса имеет все характерные признаки количества вращательного движения. Исследователи используют это понятие как величину, которая зависит от количества вращающейся массы, а также как она распределена по поверхности относительно оси вращения. При этом имеет значение скорости вращения.

Вращение также можно понимать не только с точки зрения классического представления вращения тела вокруг оси. При прямолинейном движении тела мимо некой неизвестной воображаемой точки, которая не лежит на линии движения, тело также может обладать моментом импульса. При описании вращательного движения момента импульса играет самую существенную роль. Это очень важно при постановке и решении разнообразных задач, связанных с механикой в классическом понимании.

В классической механике закон сохранения импульса является следствием ньютоновской механики. Он наглядно показывает, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени. Если существует взаимодействие, то скорость его изменения определяется суммой приложенных сил.

А эта система отсчёта в свою очередь движется относительно другой системы) возникает вопрос о связи скоростей в двух системах отсчёта.

Энциклопедичный YouTube

1 / 3

Сложение скоростей (кинематика) ➽ Физика 10 класс ➽ Видеоурок

Урок 19. Относительность движения. Формула сложения скоростей.

Физика. Урок № 1. Кинематика. Закон сложения скоростей

Субтитры

Классическая механика

V → a = v → r + v → e . {\displaystyle {\vec {v}}_{a}={\vec {v}}_{r}+{\vec {v}}_{e}.}

Данное равенство представляет собой содержание утверждения теоремы о сложении скоростей .

Простым языком: Скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости этого тела относительно подвижной системы отсчета и скорости (относительно неподвижной системы) той точки подвижной системы отсчёта, в которой в данный момент времени находится тело.

Примеры

Абсолютная скорость мухи, ползущей по радиусу вращающейся граммофонной пластинки, равна сумме скорости её движения относительно пластинки и той скорости, которую имеет точка пластинки под мухой относительно земли (то есть с которой её переносит пластинка за счёт своего вращения).
Если человек идёт по коридору вагона со скоростью 5 километров в час относительно вагона, а вагон движется со скоростью 50 километров в час относительно Земли, то человек движется относительно Земли со скоростью 50 + 5 = 55 километров в час, когда идёт по направлению движения поезда, и со скоростью 50 - 5 = 45 километров в час, когда он идёт в обратном направлении. Если человек в коридоре вагона движется относительно Земли со скоростью 55 километров в час, а поезд со скоростью 50 километров в час, то скорость человека относительно поезда 55 - 50 = 5 километров в час.
Если волны движутся относительно берега со скоростью 30 километров в час, и корабль также со скоростью 30 километров в час, то волны движутся относительно корабля со скоростью 30 - 30 = 0 километров в час, то есть относительно корабля они становятся неподвижными.

Релятивистская механика

В XIX веке классическая механика столкнулась с проблемой распространения этого правила сложения скоростей на оптические (электромагнитные) процессы. По существу произошёл конфликт между двумя идеями классической механики, перенесёнными в новую область электромагнитных процессов.

Например, если рассмотреть пример с волнами на поверхности воды из предыдущего раздела и попробовать обобщить на электромагнитные волны, то получится противоречие с наблюдениями (см., например, опыт Майкельсона).

Классическое правило сложения скоростей соответствует преобразованию координат от одной системы осей к другой системе, движущиеся относительно первой без ускорения. Если при таком преобразовании мы сохраняем понятие одновременности, то есть сможем считать одновременными два события не только при их регистрации в одной системе координат, но и во всякой другой инерциальной системе , то преобразования называются галилеевыми . Кроме того, при галилеевых преобразованиях пространственное расстояние между двумя точками - разница между их координатами в одной инерциальной системе отсчёта - всегда равно их расстоянию в другой инерциальной системе.

Вторая идея - принцип относительности . Находясь на корабле, движущимся равномерно и прямолинейно , нельзя обнаружить его движение какими-то внутренними механическими эффектами. Распространяется ли этот принцип на оптические эффекты? Нельзя ли обнаружить абсолютное движение системы по вызванным этим движением оптическим или, что то же самое электродинамическими эффектами? Интуиция (довольно явным образом связанная с классическим принципом относительности) говорит, что абсолютное движение нельзя обнаружить какими бы то ни было наблюдениями. Но если свет распространяется с определённой скоростью относительно каждой из движущихся инерциальных систем, то эта скорость изменится при переходе от одной системы к другой. Это вытекает из классического правила сложения скоростей. Говоря математическим языком, величина скорости света не будет инвариантна относительно галлилеевых преобразованиям. Это нарушает принцип относительности, вернее, не позволяет распространить принцип относительности на оптические процессы. Таким образом электродинамика разрушила связь двух, казалось бы, очевидных положений классической физики - правила сложения скоростей и принципа относительности. Более того, эти два положения применительно к электродинамике оказались несовместимыми.

Теория относительности даёт ответ на этот вопрос. Она расширяет понятие принципа относительности, распространяя его и на оптические процессы. Правило сложения скоростей при этом не отменяется совсем, а лишь уточняется для больших скоростей с помощью преобразования Лоренца:

v r e l = v 1 + v 2 1 + v 1 v 2 c 2 . {\displaystyle v_{rel}={\frac {{v}_{1}+{v}_{2}}{1+{\dfrac {{v}_{1}{v}_{2}}{c^{2}}}}}.}

Можно заметить, что в случае, когда v / c → 0 {\displaystyle v/c\rightarrow 0} , преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея . Это говорит о том, что специальная теория относительности сводится к механике Ньютона при скоростях, малых по сравнению со скоростью света. Это объясняет, каким образом соотносятся эти две теории - первая является обобщением второй.

Основная статья: Теорема о сложении скоростей

В классической механике абсолютная скорость точки равна векторной сумме её относительной и переносной скоростей:

Данное равенство представляет собой содержание утверждения теоремы о сложении скоростей.

1. Абсолютная скорость мухи, ползущей по радиусу вращающейся граммофонной пластинки, равна сумме скорости её движения относительно пластинки и той скорости, которую имеет точка пластинки под мухой относительно земли (то есть с которой её переносит пластинка за счёт своего вращения).

2. Если человек идёт по коридору вагона со скоростью 5 километров в час относительно вагона, а вагон движется со скоростью 50 километров в час относительно Земли, то человек движется относительно Земли со скоростью 50 + 5 = 55 километров в час, когда идёт по направлению движения поезда, и со скоростью 50 — 5 = 45 километров в час, когда он идёт в обратном направлении. Если человек в коридоре вагона движется относительно Земли со скоростью 55 километров в час, а поезд со скоростью 50 километров в час, то скорость человека относительно поезда 55 — 50 = 5 километров в час.

3. Если волны движутся относительно берега со скоростью 30 километров в час, и корабль также со скоростью 30 километров в час, то волны движутся относительно корабля со скоростью 30 — 30 = 0 километров в час, то есть относительно корабля они становятся неподвижными.

Из формулы для ускорений следует, что если движущаяся система отсчета движется относительно первой без ускорения, то есть , то ускорение тела относительно обеих систем отсчета одинаково.

Поскольку в Ньютоновской динамике из кинематических величин именно ускорение играет роль (см. второй закон Ньютона), то, если довольно естественно предположить, что силы зависят лишь от относительного положения и скоростей физических тел (а не их положения относительно абстрактного начала отсчета), окажется, что все уравнения механики запишутся одинаково в любой инерциальной системе отсчета — иначе говоря, законы механики не зависят от того, в какой из инерциальных систем отсчета мы их исследуем, не зависят от выбора в качестве рабочей какой-либо конкретной из инерциальных систем отсчета.

Также — поэтому — не зависит от такого выбора системы отсчета наблюдаемое движение тел (учитывая, конечно, начальные скорости). Это утверждение известно как принцип относительности Галилея , в отличие от Принципа относительности Эйнштейна

Иным образом этот принцип формулируется (следуя Галилею) так:

Если в двух замкнутых лабораториях, одна из которых равномерно прямолинейно (и поступательно) движется относительно другой, провести одинаковый механический эксперимент, результат будет одинаковым.

Требование (постулат) принципа относительности вместе с преобразованиями Галилея, представляющимися достаточно интуитивно очевидными, во многом следует форма и структура ньютоновской механики (и исторически также они оказали существенное влияние на ее формулировку). Говоря же несколько более формально, они накладывают на структуру механики ограничения, достаточно существенно влияющие на ее возможные формулировки, исторически весьма сильно способствовавшие ее оформлению.

Центра масс системы материальных точек

Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом:

где — радиус-вектор центра масс, — радиус-вектор i -й точки системы, — масса i -й точки.

Для случая непрерывного распределения масс:

где — суммарная масса системы, — объём, — плотность. Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.

Можно показать, что если система состоит не из материальных точек, а из протяжённых тел с массами , то радиус-вектор центра масс такой системы связан с радиус-векторами центров масс тел соотношением:

Иначе говоря, в случае протяжённых тел справедлива формула, по своей структуре совпадающая с той, что используется для материальных точек.

Закон движения центра масс

Теорема о движении центра масс (центра инерции) системы — одна из общих теорем динамики, является следствием законов Ньютона. Утверждает, что ускорение центра масс механической системы не зависит от внутренних сил, действующих на тела системы, и связывает это ускорение с внешними силами, действующими на систему.

Объектами, о которых идёт речь в теореме, могут, в частности, являться следующие :

Импульс материальной точки и системы тел - это физическая векторная величина, которая является мерой действия силы, и зависит от времени действия силы.

Закон сохранения импульса (доказательство)

Закон сохранения импульса (Закон сохранения количества движения) утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю.

В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил.

Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса связан, согласно теореме Нётер, с одной из фундаментальных симметрий, — однородностью пространства .

Согласно второму закону Ньютона для системы из N частиц:

где импульс системы

а — равнодействующая всех сил, действующих на частицы системы

Здесь — равнодействующая сил, действующим на n -ю частицу со стороны m -ой, а — равнодействующая всех внешних сил, действующих k -ю частицу. Согласно третьему закону Ньютона, силы вида и будут равны по абсолютному значению и противоположны по направлению, то есть . Поэтому вторая сумма в правой части выражения (1) будет равна нулю, и получаем, что производная импульса системы по времени равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему:

Внутренние силы исключаются третьим законом Ньютона.

Для систем из N частиц, в которых сумма всех внешних сил равна нулю

или для систем, на частицы которых не действуют внешние силы (для всех k от 1 до n), имеем

Как известно, если производная от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:

(постоянный вектор).

То есть суммарный импульс системы из N частиц, где N любое целое число, есть величина постоянная. Для N = 1 получаем выражение для одной частицы.

Закон сохранения импульса выполняется не только для систем, на которые не действуют внешние силы, но и для систем, сумма всех внешних сил равна нулю. Равенство нулю всех внешних сил достаточно, но не необходимо для выполнения закона сохранения импульса.

Если проекция суммы внешних сил на какую-либо направление или координатную ось равна нулю, то в этом случае говорят о законе сохранения проекции импульса на данное направление или координатную ось.

Динамика вращательного движения твердого тела

Основной закон динамики МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ при вращательном движении можно сформулировать следующим образом:

"Произведение момента инерции на угловое ускорение равно результирующему моменту сил, действующих на материальную точку: "M = I·e.

Основной закон динамики вращательного движения ТВЕРДОГО ТЕЛА относительно закрепленной точки можно сформулировать следующим образом:

"Произведение момента инерции тела на его угловое ускорение равно суммарному моменту внешних сил, действующих на тело. Моменты сил и инерции берутся относительно оси (z), вокруг которой происходит вращение: "

Основные понятия: момент силы, момент инерции, момент импульса

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора (проведённого от оси вращения к точке приложения силы — по определению) на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты в общем случае не тождественны, так как в технике понятие «вращающий» момент рассматривается как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — внутреннее усилие, возникающее в объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопротивлении материалов).

Момент инерции — скалярная (в общем случае — тензорная) физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения в Международной системе единиц (СИ): кг·м².

Момент импульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массывращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки, не лежащей на линии движения, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую, пожалуй, роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения. Однако крайне важен и для гораздо более широкого класса задач (особенно — если в задаче есть центральная или осевая симметрия, но не только в этих случаях).

Замечание: момент импульса относительно точки — это псевдовектор, а момент импульса относительно оси — псевдоскаляр.

Момент импульса замкнутой системы сохраняется.

Разделы