Фундаментальное решение однородной системы линейных уравнений. Решение однородных систем линейных уравнений
Однородная система линейных уравнений над полем
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Фундаментальной системой решений системы уравнений (1) называется непустая линейно независимая система ее решений, линейная оболочка которой совпадает с множеством всех решений системы (1).
Отметим, что однородная система линейных уравнений, имеющая только нулевое решение, не имеет фундаментальной системы решений.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.11. Любые две фундаментальные системы решений однородной системы линейных уравнений состоят из одинакового числа решений.
Доказательство. В самом деле, любые две фундаментальные системы решений однородной системы уравнений (1) эквивалентны и линейно независимы. Поэтому в силу предложения 1.12 их ранги равны. Следовательно, число решений, входящих в одну фундаментальную систему, равно числу решений, входящих в любую другую фундаментальную систему решений.
Если основная матрица А однородной системы уравнений (1) нулевая, то любой вектор из является решением системы (1); в этом случае любая совокупность линейно независимых векторов из является фундаментальной системой решений. Если же столбцовый ранг матрицы А равен , то система (1) имеет только одно решение - нулевое; следовательно, в этом случае система уравнений (1) не обладает фундаментальной системой решений.
ТЕОРЕМА 3.12. Если ранг основной матрицы однородной системы линейных уравнений (1) меньше числа переменных , то система (1) обладает фундаментальной системой решений, состоящей из решений.
Доказательство. Если ранг основной матрицы А однородной системы (1) равен нулю или , то выше было показано, что теорема верна. Поэтому ниже предполагается, что Полагая , будем считать, что первые столбцов матрицы А линейно независимы. В этом случае матрица А строчечно эквивалентна приведенной ступенчатой матрице, а система (1) равносильна следующей приведенной ступенчатой системе уравнений:
Легко проверить, что любой системе значений свободных переменных системы (2) соответствует одно и только одно решение системы (2) и, значит, системы (1). В частности, системе нулевых значений соответствует только нулевое решение системы (2) и системы (1).
Будем в системе (2) придавать одному из свободных переменных значение, равное 1, а остальным переменным - нулевые значения. В результате получим решений системы уравнений (2), которые запишем в виде строк следующей матрицы С:
Система строк этой матрицы линейно независима. В самом деле, для любых скаляров из равенства
следует равенство
и, значит, равенства
Докажем, что линейная оболочка системы строк матрицы С совпадает с множеством всех решений системы (1).
Произвольное решение системы (1). Тогда вектор
также является решением системы (1), причем
Пусть М 0 – множество решений однородной системы (4) линейных уравнений.
Определение 6.12. Векторы с 1 , с 2 , …, с p , являющиеся решениями однородной системы линейных уравнений называются фундаментальным набором решений (сокращенно ФНР), если
1) векторы с 1 , с 2 , …, с p линейно независимы (т. е. ни один из них нельзя выразить через другие);
2) любое другое решение однородной системы линейных уравнений можно выразить через решения с 1 , с 2 , …, с p .
Заметим, что если с 1 , с 2 , …, с p – какой-либо ф.н.р., то выражением k 1 ×с 1 + k 2 ×с 2 + … + k p ×с p можно описать все множество М 0 решений системы (4), поэтому его называют общим видом решения системы (4).
Теорема 6.6. Любая неопределенная однородная система линейных уравнений обладает фундаментальным набором решений.
Способ нахождения фундаментального набора решений состоит в следующем:
Найти общее решение однородной системы линейных уравнений;
Построить (n – r ) частных решений этой системы, при этом значения свободных неизвестных должны образовывать единичную матрицу;
Выписать общий вид решения, входящего в М 0 .
Пример 6.5. Найти фундаментальный набор решений следующей системы:
Решение . Найдем общее решение этой системы.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
В этой системе пять неизвестных (n
= 5), из них главных неизвестных два (r
= 2), свободных неизвестных три (n
– r
), то есть в фундаментальном наборе решений содержится три вектора решения. Построим их. Имеем x
1 и x
3 – главные неизвестные, x
2 , x
4 , x
5 – свободные неизвестные
Значения свободных неизвестных x 2 , x 4 , x 5 образуют единичную матрицу E третьего порядка. Получили, что векторы с 1 , с 2 , с 3 образуют ф.н.р. данной системы. Тогда множество решений данной однородной системы будет М 0 = {k 1 ×с 1 + k 2 ×с 2 + k 3 ×с 3 , k 1 , k 2 , k 3 Î R}.
Выясним теперь условия существования ненулевых решений однородной системы линейных уравнений, другими словами условия существования фундаментального набора решений.
Однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения, то есть является неопределенной, если
1) ранг основной матрицы системы меньше числа неизвестных;
2) в однородной системе линейных уравнений число уравнений меньше числа неизвестных;
3) если в однородной системе линейных уравнений число уравнений равно числу неизвестных, и определитель основной матрицы равен нулю (т. е. |A | = 0).
Пример 6.6
. При каком значении параметра a
однородная система линейных уравнений 
имеет ненулевые решения?
Решение . Составим основную матрицу этой системы и найдем ее определитель: = = 1×(–1) 1+1 × = –а – 4. Определитель этой матрицы равен нулю при a = –4.
Ответ : –4.
7. Арифметическое n -мерное векторное пространство
Основные понятия
В предыдущих разделах уже встречалось понятие о наборе из действительных чисел, расположенных в определенном порядке. Это матрица-строка (или матрица-столбец) и решение системы линейных уравнений с n неизвестными. Эти сведения можно обобщить.
Определение 7.1. n -мерным арифметическим вектором называется упорядоченный набор из n действительных чисел.
Значит а = (a 1 , a 2 , …, a n ), где a i Î R, i = 1, 2, …, n – общий вид вектора. Число n называется размерностью вектора, а числа a i называются его координатами .
Например: а = (1, –8, 7, 4, ) – пятимерный вектор.
Все множество n -мерных векторов принято обозначать как R n .
Определение 7.2. Два вектора а = (a 1 , a 2 , …, a n ) и b = (b 1 , b 2 , …, b n ) одинаковой размерности равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты, т. е. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n = b n .
Определение 7.3. Суммой двух n -мерных векторов а = (a 1 , a 2 , …, a n ) и b = (b 1 , b 2 , …, b n ) называется вектор a + b = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , …, a n + b n ).
Определение 7.4. Произведением действительного числа k на вектор а = (a 1 , a 2 , …, a n ) называется вектор k ×а = (k ×a 1 , k ×a 2 , …, k ×a n )
Определение 7.5. Вектор о = (0, 0, …, 0) называется нулевым (или нуль–вектором ).
Легко проверить, что действия (операции) сложения векторов и умножения их на действительное число обладают следующими свойствами: " a , b , c Î R n , " k , l Î R:
1) a + b = b + a ;
2) a + (b + c ) = (a + b ) + c ;
3) a + о = a ;
4) a + (–a ) = о ;
5) 1×a = a , 1 Î R;
6) k ×(l ×a ) = l ×(k ×a ) = (l ×k )×a ;
7) (k + l )×a = k ×a + l ×a ;
8) k ×(a + b ) = k ×a + k ×b .
Определение 7.6. Множество R n с заданными на нем операциями сложения векторов и умножения их на действительное число называется арифметическим n-мерным векторным пространством .
Вы можете заказать подробное решение вашей задачи !!!Чтобы понять, что такое фундаментальная система решений вы можете посмотреть видео-урок для этого же примера кликнув . Теперь перейдем собственно к описанию всей необходимой работы. Это поможет вам более детально разобраться в сути данного вопроса.
Как найти фундаментальную систему решений линейного уравнения?
Возьмём для примера такую систему линейных уравнений:
Найдём решение этой линейной системы уравнений . Для начала нам надо выписать матрицу коэффициентов системы.
Преобразуем эту матрицу к треугольной.
Первую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под $a_{11}$, надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{21}$, надо от второй строки вычесть первую, и разность записать во второй строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{31}$, надо от третьей строки вычесть первую и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{41}$, надо от четвёртой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{31}$, надо от пятой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в пятой строке.
Первую и вторую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под $a_{22}$, надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{32}$, надо от третьей строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{42}$, надо от четвёртой строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{52}$, надо от пятой строки вычесть вторую умноженную на 3 и разность записать в пятой строке.
Видим, что последние три строки – одинаковые
, поэтому если от четвёртой и пятой вычесть третью, то они станут нулевыми.
По этой матрице записываем новую систему уравнений
.
Видим, что линейно независимых уравнений у нас, только три, а неизвестных пять, поэтому фундаментальная система решений будет состоять из двух векторов
. Значит, нам надо перенести две последние неизвестные вправо
.
Теперь, начинаем выражать те неизвестные, что стоят в левой части через те, что стоят в правой части. Начинаем с последнего уравнения, сначала выразим $x_3$, потом полученный результат подставим во второе уравнение и выразим $x_2$, а потом в первое уравнение и тут выразим $x_1$. Таким образом мы все неизвестные, что стоят в левой части, выразили через неизвестные, что стоят в правой части.
После чего вы вместо $x_4$ и $x_5$, можем подставлять любые числа и находить $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Каждая такая пятёрка чисел будет корнями нашей изначальной системы уравнений. Что бы найти векторы, что входят в ФСР
нам надо вместо $x_4$ подставить 1, а вместо $x_5$ подставить 0, найти $x_1$, $x_2$ и $x_3$, а потом наоборот $x_4=0$ и $x_5=1$.
Метод Гаусса имеет ряд недостатков: нельзя узнать, совместна система или нет, пока не будут проведены все преобразования, необходимые в методе Гаусса; метод Гаусса не пригоден для систем с буквенными коэффициентами.
Рассмотрим другие методы решения систем линейных уравнений. Эти методы используют понятие ранга матрицы и сводят решение любой совместной системы к решению системы, к которой применимо правило Крамера.
Пример 1. Найти общее решение следующей системы линейных уравнений с помощью фундаментальной системы решений приведенной однородной системы и частного решения неоднородной системы.
1. Составляем матрицу A и расширенную матрицу системы (1)
2. Исследуем систему (1) на совместность. Для этого находим ранги матриц A и https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Если окажется, что , то система (1) несовместна. Если же получим, что , то эта система совместна и мы ее будем решать. (Исследование на совместность основано на теореме Кронекера-Капелли).
a. Находим rA .
Чтобы найти rA , будем рассматривать последовательно отличные от нуля миноры первого, второго и т. д. порядков матрицы A и окаймляющие их миноры.
М1 =1≠0 (1 берем из левого верхнего угла матрицы А ).
Окаймляем М1
второй строкой и вторым столбцом этой матрицы. 
. Продолжаем окаймлять М1
второй строкой и третьим столбцом..gif" width="37" height="20 src=">. Теперь окаймляем отличный от нуля минор М2′
второго порядка.
Имеем: 
(т. к. два первых столбца одинаковые)
(т. к. вторая и третья строки пропорциональны).
Мы видим, что rA=2 , а - базисный минор матрицы A .
b. Находим .
Достаточно базисный минор М2′ матрицы A окаймить столбцом свободных членов и всеми строками (у нас только последней строкой).
. Отсюда следует, что и М3′′
остается базисным минором матрицы https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75">(2)
Так как М2′ - базисный минор матрицы A системы (2) , то эта система эквивалентна системе (3) , состоящей из первых двух уравнений системы (2) (ибо М2′ находится в первых двух строках матрицы A).
(3)
Так как базисный минор https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51">(4)
В этой системе два свободных неизвестных (x2 и x4 ). Поэтому ФСР системы (4) состоит из двух решений. Чтобы их найти, придадим свободным неизвестным в (4) сначала значения x2=1 , x4=0 , а затем – x2=0 , x4=1 .
При x2=1 , x4=0 получим:
.
Эта система уже имеет единственное решение (его можно найти по правилу Крамера или любым другим способом). Вычитая из второго уравнения первое, получим:
Ее решением будет x1= -1 , x3=0 . Учитывая значения x2 и x4 , которые мы придали, получаем первое фундаментальное решение системы (2) : .
Теперь полагаем в (4) x2=0 , x4=1 . Получим:
.
Решаем эту систему по теореме Крамера:
.
Получаем второе фундаментальное решение системы (2) : .
Решения β1 , β2 и составляют ФСР системы (2) . Тогда ее общим решением будет
γ= С1β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)
Здесь С1 , С2 – произвольные постоянные.
4. Найдем одно частное решение неоднородной системы (1) . Как и в пункте 3 , вместо системы (1) рассмотрим эквивалентную ей систему (5) , состоящую из первых двух уравнений системы (1) .
(5)
Перенесем в правые части свободные неизвестные x2 и x4 .
(6)
Придадим свободным неизвестным x2 и x4 произвольные значения, например, x2=2 , x4=1 и подставим их в (6) . Получим систему
Эта система имеет единственное решение (т. к. ее определитель М2′0 ). Решая ее (по теореме Крамера или методом Гаусса), получим x1=3 , x3=3 . Учитывая значения свободных неизвестных x2 и x4 , получим частное решение неоднородной системы (1) α1=(3,2,3,1).
5. Теперь осталось записать общее решение α неоднородной системы (1) : оно равно сумме частного решения этой системы и общего решения ее приведенной однородной системы (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).
Это значит: 
(7)
6. Проверка. Чтобы проверить, правильно ли вы решили систему (1) , надо общее решение (7) подставить в (1) . Если каждое уравнение обратится в тождество (С1 и С2 должны уничтожиться), то решение найдено верно.
Мы подставим (7) для примера только в последнее уравнение системы (1) (x 1 + x 2 + x 3 ‑9 x 4 =‑1) .
Получим: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
Откуда –1=–1. Получили тождество. Так поступаем со всеми остальными уравнениями системы (1) .
Замечание. Проверка обычно довольно громоздкая. Можно рекомендовать следующую «частичную проверку»: в общем решении системы (1) произвольным постоянным придать некоторые значения и подставить полученное частное решение только в отброшенные уравнения (т. е. в те уравнения из (1) , которые не вошли в (5) ). Если получите тождества, то, скорее всего , решение системы (1) найдено правильно (но полной гарантии правильности такая проверка не дает!). Например, если в (7) положить С2= - 1 , С1=1 , то получим: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Подставляя в последнее уравнение системы (1), имеем: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , т. е. –1=–1. Получили тождество.
Пример 2. Найти общее решение системы линейных уравнений (1) , выразив основные неизвестные через свободные.
Решение. Как и в примере 1 , составляем матрицы A и https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> этих матриц. Оставляем теперь только те уравнения системы (1) , коэффициенты из которых входят в этот базисный минор (т. е. у нас – первые два уравнения) и рассматриваем состоящую из них систему, эквивалентную системе (1).
Перенесем в правые части этих уравнений свободные неизвестные.
Систему (9) решаем методом Гаусса, считая правые части свободными членами.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
Вариант 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
Вариант 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
Вариант 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
Вариант 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
Линейное уравнение называется однородным , если его свободный член равен нулю, и неоднородным в противном случае. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной и имеет общий вид:
Очевидно, что всякая однородная система совместна и имеет нулевое (тривиальное) решение. Поэтому применительно к однородным системам линейных уравнений часто приходится искать ответ на вопрос о существовании ненулевых решений. Ответ на этот вопрос можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема . Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных .
Доказательство : Допустим, система, ранг которой равен, имеет ненулевое решение. Очевидно, что не превосходит . В случае система имеет единственное решение. Поскольку система однородных линейных уравнений всегда имеет нулевое решение, то именно нулевое решение и будет этим единственным решением. Таким образом, ненулевые решения возможны только при .
Следствие 1 : Однородная система уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.
Доказательство : Если у системы уравнений , то ранг системы не превышает числа уравнений , т.е. . Таким образом, выполняется условие и, значит, система имеет ненулевое решение.
Следствие 2 : Однородная система уравнений с неизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.
Доказательство : Допустим, система линейных однородных уравнений, матрица которой с определителем , имеет ненулевое решение. Тогда по доказанной теореме , а это значит, что матрица вырожденная, т.е. .
Теорема Кронекера-Капелли: СЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы. Система ур-ий называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.Однородная система линейных алгебраических уравнений .
Система m линейных ур-ий с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все свободные члены равны 0. Система линейных однородных ур-ий всегда совместна, т.к. она всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение. Система линейных однородных ур-ий имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг её матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при rang A (n. Всякая лин. комбинация
решений системы лин. однородн. ур-ий также является решением этой системы.
Система лин.независимых решений е1, е2,…,еk называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений. Теорема: если ранг r матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная система решений системы состоит из n-r решений. Поэтому общее решение системы лин. однордн. ур-ий имеет вид: с1е1+с2е2+…+сkеk, где е1, е2,…, еk – любая фундаментальная система решений, с1, с2,…,сk – произвольные числа и k=n-r. Общее решение системы m линейных ур-ий с n переменными равно сумме
общего решения соответствующей ей системы однородн. линейных ур-ий и произвольного частного решения этой системы.
7.Линейные пространства. Подпространства. Базис, размерность. Линейная оболочка. Линейное пространство называется n-мерным , если в нем существует система из линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов линейно зависима. Число называется размерностью (числом измерений) линейного пространства и обозначается . Другими словами, размерность пространства - это максимальное число линейно независимых векторов этого пространства. Если такое число существует, то пространство называется конечномерным. Если же для любого натурального числа п в пространстве найдется система, состоящая из линейно независимых векторов, то такое пространство называют бесконечномерным (записывают: ). Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться конечномерные пространства.
Базисом n-мерного линейного пространства называется упорядоченная совокупность линейно независимых векторов (базисных векторов ).
Теорема 8.1 о разложении вектора по базису. Если - базис n-мерного линейного пространства , то любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:
V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
и притом единственным образом, т.е. коэффициенты определяются однозначно.
Другими словами, любой вектор пространства может быть разложен по базису и притом единственным образом.
Действительно, размерность пространства равна . Система векторов линейно независима (это базис). После присоединения к базису любого вектора , получаем линейно зависимую систему (так как это система состоит из векторов n-мерного пространства). По свойству 7 линейно зависимых и линейно независимых векторов получаем заключение теоремы.